ich war selbst mal in der gleichen Situation und habe deshalb einen tollen Job nicht bekommen
Es gibt in diesem Fall keine Absicherung, der Arbeitgeber muss dir nicht entgegenkommen, wenn er nicht will.
Und wenn du den Vertrag bei der anderen Firma unterschreibst und dann dein Arbeitgeber nicht zustimmen sollte, kannst du u. U. regresspflichtig gemacht werden.

Und krankschreiben geht ja mal gar nicht, da kannst du in Teufels Küche kommen.
Ich hab damals auch in den sauren Apfel beißen müssen und hab weitergesucht, bis ich jemanden gefunden habe, der meine Kündigungsfristen akzeptiert