Ich denke, das kommt auf die Firma und deinen Job an und ob dein Chef und deine Kollegen neben deinem gesetzlichen Urlaub auch noch unbezahlten verkraften können. Wenn du meinst, es geht, dann frag danach.
Ich würde mich ehrlich gesagt nicht trauen, einen solchen Antrag mit dem Einzug eines Haustieres zu begründen. Eine Frage nach unbezahltem Urlaub würde ich entweder stellen, wenn ich einen Lebenstraum erfüllen möchte (ein halbes Jahr Australien etwa) oder ich in eine Notfallsituation gerate. Ist aber nur meine Meinung; du kennst die Situation besser, um das Richtige zu entscheiden.
Liebe Grüße, Nele