Ich bin da kein Experte, aber verstehe es so: Der Übergabetermin ist nicht gleich Auszugstermin. Auszugstermin bleibt der 16.10. und deswegen wird die Miete anteilig bis dann berechnet. Besonderer Fall ist hier ja nun, dass ab Übergabetermin das Bad saniert werden soll. Die Frage ist dabei wahrscheinlich inwieweit das Bad gemacht wird und die Wohnung dadurch "unbewohnbar" wird
Und mit der Aussage, dass er froh sein kann, früher raus zu kommen, haben die absolut recht. Dazu ist der Vermieter/die Gesellschaft nicht verpflichtet.
Auch kenne ich das mit anteiliger Mietszahlung nicht