Prinzipiell würde die Reparatur zur Instandhaltungspflicht des Vermieter gehören.
Allerdings ist ein Mieter nicht ermächtigt, eigenmächtig die Reparatur vornehmen zu lassen und dafür Aufwandersatz zu verlangen. Er ist verpflichtet, den Mieter den Mangel anzuzeigen. Ansonsten geht auch der Aufwandersatzanspruch verloren,
Janne hat das schon zitiert:
Der Mieter kann den Mangel selbst beseitigen und Ersatz der erforderlichen Aufwendungen verlangen, wenn 1.der Vermieter mit der Beseitigung des Mangels in Verzug ist oder
2.die umgehende Beseitigung des Mangels zur Erhaltung oder Wiederherstellung des Bestands der Mietsache notwendig ist.
Beides ist hier nicht der Fall, für mich liest sich das nicht so. "Erhaltung und Wiederherstellung" sind Fälle wie ein Wasserrohrbruch, der das Mietobjekt womöglich grob beschädigt oder wenn das Mietobjekt gänzlich unzugänglich durch den Mangel wird. Das muss etwas Gröberes als eine klemmende Tür sein.
Also ich denke, du bräuchtest die Kosten nicht übernehmen, würde mir aber erst die Rechnung ansehen und dann entscheiden. Einen Streit ist es wahrscheinlich nicht wert.
hier eine Seite von Rechtsprechungen bezüglich dieser Thematik: http://dejure.org/dienste/lex/BGB/536a/1.html
Das, das, das...und das und das und das und das und das nehm ich auch.