Ich habe die Schilder drauf gelassen, das ist wohl ok, solange man die Uhrzeit auf dem Vertrag notiert. Also nicht nur den Tag, sondern auch "12 Uhr". Passiert auf der Rückfahrt dann ein Unfall, bist du raus. Einen Vordruck für einen privaten Kaufvertrag bekommst du beim ADAC online oder hier: http://ww2.autoscout24.de/as24_service_contract.pdf
Mit der Abmeldebestätigung (oder Veräußerungsanzeige, findest du auch in dem PDF) meldest du dann dein Auto bei deinem Straßenverkehrsamt ab, dazu brauchte ich keine Schilder.