Ein Kleingarten mitten in der Innenstadt, das ist schon ein Filetstück, das dir angeboten wird und dann noch dicht bei der Wohnung. Besser geht es kaum. Die Zeit, die du sonst zum Rausfahren bräuchtest, kannst du schon nutzen, um den Rasen zu mähen, Beete zu jäten oder Büsche zu beschnippeln. Das bedeutet mehr freie Zeit fürs Rumliegen. Gerade im Sommer hast du die Möglichkeit schnell noch abends ein, zwei Stunden im Garten zu verbringen (kein Abhängen mehr auf dem Balkon ) und an den Wochenenden bieten sich auch genug Möglichkeiten nach der Gartenarbeit dort zu entspannen (Kaffee und Kuchen).
Besonders vorteilhaft finde ich ja, dass der Garten grundgepflegt ist, was bedeutet, dass du erstmal nur mit Unterhaltungspflege einsteigen kannst und auch nicht weiteres zusätzliches Geld ausgeben musst. Investitionen und Veränderungen können später nach und nach kommen. Auch die Laube kannst du stückweise umgestalten.
Preis scheint mir für Großstadt ok zu sein und 450 qm erscheinen mir nicht zu groß. Du wirst Spaß an deiner eigenen Ernte haben und kannst es den Jungs nett machen. Das wird ein Refugium für alle in der Großstadt. Und - nochmal Grins - während der Gartenzeit hast du eine Dauerausrede, um nicht zu deiner Mutter fahren zu müssen.

Hamburg hat bestimmt eine Kleingartenordnung und der Kleingarten eine eigene Satzung. Danach würde ich nochmal googeln und mir das Kleingedruckte durchlesen. Dann weißt du, welche Regeln du einhalten musst.